◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

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수 학 영 역

‘가’형

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2019학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

10

두 벡터 [eqn: {vec{a}} =(6,``2,``4)], [eqn: {vec{b}} =(1,``3,``2)`]에 대하여 벡터 [eqn: {vec{a}} it `- {vec{b}} `]의
모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 4]    ② [eqn: 5]    ③ [eqn: 6]    ④ [eqn: 7]    ⑤ [eqn: 8]

함수 [eqn: f(x)=ln(2x+3)`]에 대하여 [eqn: lim _{h` -> `0} {{f(2+h)-f(2)} over {h}} `]의 값은?

[2점]

① [eqn: {2} over {7}]    ② [eqn: {5} over {14}]    ③ [eqn: {3} over {7}]    ④ [eqn: {1} over {2}]    ⑤ [eqn: {4} over {7}]

방정식 [eqn: 2^x + 16 over2^x =10`]의 모든 실근의 합은? [2점]

① [eqn: 3]    ② [eqn: log _{`2} `10]  ③ [eqn: log _{`2} `12]  ④ [eqn: log _{`2} `14]  ⑤ [eqn: 4]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B``]에 대하여

[eqn: rm P( it A)= {1} over {2} `],	[eqn: rm P( it B`)= {2} over {5} `],	[eqn: rm P( it A CUP B`)= {4} over {5} `]

일 때, [eqn: rm P( it B``|`A)`]의 값은? [3점]
① [eqn: {1} over {10} `]    ② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {3} over {10}]	④ [eqn: {2} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {2}][eqn: over6``]

좌표공간에서 두 점 [eqn: rm A(it5,``a,``-3)`], [eqn: rm B(it6,``4,``b)`]에 대하여 선분
[eqn: rm AB`]를 [eqn: 3:2`]로 외분하는 점이 [eqn: x`]축 위에 있을 때, [eqn: a+b`]의 값은?
[3점]
① [eqn: 3]    ② [eqn: 4]    ③ [eqn: 5]    ④ [eqn: 6]    ⑤ [eqn: 7]

이산확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rmP(itX=x)]	[eqn: a]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: b]	[eqn: 1]

[eqn: rm E( it X)= {11} over {6} `]일 때, [eqn: {b} over {a} `]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]
① [eqn: 1]    ② [eqn: 2]    ③ [eqn: 3]    ④ [eqn: 4]    ⑤ [eqn: 5]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP`]의 시각 [eqn: t``]([eqn: 0<t< pi `])에서의 위치 [eqn: rm P( it `x,``y)`]가
[eqn: x=cos`t+2`],	[eqn: y=3 `sin`t+1]
이다. 시각 [eqn: t= {pi } over {6} `]에서 점 [eqn: rmP`]의 속력은? [3점]
① [eqn: sqrt {5}]    ② [eqn: sqrt {6}]    ③ [eqn: sqrt {7}]    ④ [eqn: 2 sqrt {2}]    ⑤ [eqn: 3]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)`]에 대하여
[eqn: int _{1} ^{e ^{2}} {{f(1+2`ln`x)} over {x}} `dx=5`]
일 때, [eqn: int _{1} ^{5} {f(x)} `dx`]의 값은? [3점]
① [eqn: 6]    ② [eqn: 7]    ③ [eqn: 8]    ④ [eqn: 9]    ⑤ [eqn: 10]

흰 공 [eqn: 4`]개와 검은 공 [eqn: 2`]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공의 색을 확인한 후 다시 넣는 시행을 [eqn: 5`]회 반복한다. 각 시행에서 꺼낸 공이 흰 공이면 [eqn: 1`]점을 얻고, 검은 공이면 [eqn: 2`]점을 얻을 때, 얻은 점수의 합이 [eqn: 7`]일 확률은? [3점]
① [eqn: {80} over {243}]    ② [eqn: {1} over {3}]    ③ [eqn: {82} over {243}]    ④ [eqn: {83} over {243}]    ⑤ [eqn: {28} over {81}]

곡선 [eqn: y=e ^{{x} over {3}} `]과 이 곡선 위의 점 [eqn: (3,``e)`]에서의 접선 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [3점]
① [eqn: {e} over {2} -1]   ② [eqn: e-2]   ③ [eqn: {3} over {2} e-3]   ④ [eqn: 2e-4]   ⑤ [eqn: {5} over {2} e-5]

연속확률변수 [eqn: X`]가 갖는 값의 범위가 [eqn: 0 LEQ X LEQ 4`]이고, [eqn: X`]의 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같다. [eqn: 1< k < 2`]일 때,
[eqn: \P(itk le X le 2k)`]가 최대가 되도록 하는 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: {7} over {5}]    ② [eqn: {3} over {2}]    ③ [eqn: {8} over {5}]    ④ [eqn: {17} over {10}]    ⑤ [eqn: {9} over {5}]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: xf(x)=x ^{2} e ^{-x} + int _{1} ^{x} {f(t)} `dt]
를 만족시킬 때, [eqn: f(2)`]의 값은? [3점]
① [eqn: {1} over {e}]    ② [eqn: {e+1} over {e ^{2}}]    ③ [eqn: {e+2} over {e ^{2}}]    ④ [eqn: {e+3} over {e ^{2}}]    ⑤ [eqn: {e+4} over {e ^{2}}]

곡선 [eqn: y=log _{`3} `9x] 위의 점 [eqn: rm A it(a,``b)`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= log_{`3} ` x`]와 만나는 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmB`]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log _{`3} `9x]와 만나는 점을 [eqn: rmC`]라 하자. [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm BC it}} `]일 때, [eqn: a+3 ^{b} `]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: {1} over {2}]    ② [eqn: 1]    ③ [eqn: {3} over {2}]    ④ [eqn: 2]    ⑤ [eqn: {5} over {2}]

다항함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=f(x)`sin`x`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(4)`]의 값은? [4점]

(가) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {{g(x)} over {x ^{2}}} =0]	(나) [eqn: lim _{x` -> `0} {{g` prime (x)} over {x}} =6]

① [eqn: 11]    ② [eqn: 12]    ③ [eqn: 13]    ④ [eqn: 14]    ⑤ [eqn: 15]

그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a} + {y ^{2}} over {12} =1`]의 두 초점 중 [eqn: x`]좌표가 양수인 점을 [eqn: rm F`], 음수인 점을 [eqn: rm`F'`]이라 하자. 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a} + {y ^{2}} over {12} =1] 위에 있고 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점 [eqn: rmP`]에 대하여 선분 [eqn: rmF primeP`]의 연장선 위에 점 [eqn: rm Q`]를 [eqn: rm {bar{F prime Q}} =10`]이 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: rmPFQ`]가 직각이등변삼각형일 때, 삼각형 [eqn: rmQF`primeF`]의 넓이는? (단, [eqn: a>12`]) [4점]

① [eqn: 15]    ② [eqn: {35} over {2}]    ③ [eqn: 20]    ④ [eqn: {45} over {2}]    ⑤ [eqn: 25]

서로 다른 [eqn: 6`]개의 사탕을 세 명의 어린이 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C`]에게 남김없이 나누어 줄 때, 어린이 [eqn: \A`]가 받은 사탕의 개수가 어린이 [eqn: \B`]가 받은 사탕의 개수보다 많도록 나누어 주는 경우의 수는? (단, 사탕을 하나도 받지 못하는 어린이는 없다.) [4점]
① [eqn: 180]    ② [eqn: 190]    ③ [eqn: 200]    ④ [eqn: 210]    ⑤ [eqn: 220]

그림과 같이 서로 다른 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta`]의 교선 위에 점 [eqn: rmA`]가 있다. 평면 [eqn: alpha] 위의 세 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD`]의 평면 [eqn: beta] 위로의 정사영을 각각 [eqn: rm B prime], [eqn: rmC prime], [eqn: rmD prime`]이라 할 때, 사각형 [eqn: rmAB prime C prime D prime`]은 한 변의 길이가 [eqn: 4 sqrt {2} `]인 정사각형이고, [eqn: bar{rm BB prime it} = bar{rm DD prime it} `]이다. 두 평면 [eqn: alpha`]와 [eqn: beta`]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 할 때, [eqn: tan` theta = {3} over {4} `]이다. 선분 [eqn: rm BC`]의 길이는? (단, 선분 [eqn: rmBD`]와 평면 [eqn: beta`]는 만나지 않는다.) [4점]

① [eqn: sqrt {35}]    ② [eqn: sqrt {37}]    ③ [eqn: sqrt {39}]    ④ [eqn: sqrt {41}]    ⑤ [eqn: sqrt {43}]

[그림 [eqn: 1]]과 같이 [eqn: 5`]개의 스티커 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE`]는 각각 흰색 또는 회색으로 칠해진 [eqn: 9`]개의 정사각형으로 이루어져 있다. 이 [eqn: 5`]개의 스티커를 모두 사용하여 [그림 [eqn: 2]]의 [eqn: 45`]개의 정사각형으로 이루어진  모양의 판에 빈틈없이 붙여 문양을 만들려고 한다. [그림 [eqn: 3]]은 스티커 [eqn: rmB`]를  모양의 판의 중앙에 붙여 만든 문양의 한 예이다.

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[그림 [eqn: 1]]

[그림 [eqn: 2]]

[그림 [eqn: 3]]

다음은 [eqn: 5`]개의 스티커를 모두 사용하여 만들 수 있는 서로 다른 문양의 개수를 구하는 과정의 일부이다. (단,  모양의 판을 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

모양의 판의 중앙에 붙이는 스티커에 따라 다음과 같이

[eqn: 3`]가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: rmA] 또는 [eqn: rmE`]를 붙이는 경우

나머지 [eqn: 4`]개의 스티커를 붙일 위치를 정하는 경우의 수는 [eqn: 3!]

이 각각에 대하여 [eqn: 4`]개의 스티커를 붙이는 경우의 수는

[eqn: 1 TIMES 2times4 TIMES 4]

그러므로 이 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 3! TIMES 32`]

(ⅱ) [eqn: rmB] 또는 [eqn: rmC`]를 붙이는 경우

나머지 [eqn: 4`]개의 스티커를 붙일 위치를 정하는 경우의 수는 [eqn: {BOX{~(가) _{`}^{{}^{`}} ~}} `]

이 각각에 대하여 [eqn: 4`]개의 스티커를 붙이는 경우의 수는

[eqn: 1 TIMES 1 TIMES 2 TIMES 4]

그러므로 이 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES ` {BOX{~(가) _{`}^{{}^{`}} ~}} ` TIMES 8`]

(ⅲ) [eqn: rmD`]를 붙이는 경우

나머지 [eqn: 4`]개의 스티커를 붙일 위치를 정하는 경우의 수는 [eqn: {BOX{~(나) _{`}^{{}^{`}} ~}}]

이 각각에 대하여 [eqn: 4`]개의 스티커를 붙이는 경우의 수는

[eqn: {BOX{~(다) _{`}^{{}^{`}} ~}}]

그러므로 이 경우의 수는 [eqn: {BOX{~(나) _{`}^{{}^{`}} ~}} ` TIMES ` {BOX{~(다) _{`}^{{}^{`}} ~}} `]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c``]라 할 때,
① [eqn: 52]    ② [eqn: 54]    ③ [eqn: 56]    ④ [eqn: 58]    ⑤ [eqn: 60]

그림과 같이 선분 [eqn: rm BC`]를 빗변으로 하고, [eqn: {bar{rm BC it}} =8`]인 직각삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 점 [eqn: rm B`]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: bar{rmAB}`]인 원이 선분 [eqn: rm BC`]와 만나는 점을 [eqn: rmD], 점 [eqn: rm C`]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rmbar{AC}`]인 원이 선분 [eqn: rm BC`]와 만나는 점을 [eqn: rm E`]라 하자. [eqn: rm ANGLE ACB= it theta `]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm AED`]의 넓이를 [eqn: S`( theta )`]라 하자. [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S`( theta )} over {theta ^{2}}} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 16]    ② [eqn: 20]    ③ [eqn: 24]    ④ [eqn: 28]    ⑤ [eqn: 32]

좌표평면에서 점 [eqn: rm A(0,``12)`]와 양수 [eqn: t`]에 대하여 점 [eqn: rmP(it0, `` t)`]와 점 [eqn: rmQ`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: {vec{rm OA}} BULLET {vec{rm PQ}} =0 _{{}_{`}}]

(나) [eqn: t over3 le left|vec\PQ right|le it t over2`]

[eqn: 6 le t le 12`]에서 [eqn: LEFT | {vec{rm AQ it}} RIGHT | `]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M``m`]의 값은? [4점]
① [eqn: 12 sqrt { 2}]   ② [eqn: 14 sqrt { 2}]   ③ [eqn: 16 sqrt { 2}]   ④ [eqn: 18 sqrt { 2}]   ⑤ [eqn: 20 sqrt { 2}]

함수 [eqn: f(x)= LEFT | x ^{2} -x RIGHT | e ^{4-x}]이 있다. 양수 [eqn: k`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를
[eqn: g(x)= {cases{`f(x)~&LEFT ( f(x) LEQ kx RIGHT ) _{`}#~kx&LEFT ( f(x)>`kx RIGHT ) ^{`}}}]
라 하자. 구간 [eqn: LEFT ( -inf,``inf RIGHT ) `]에서 함수 [eqn: g(x)`]가 미분가능하지 않은 [eqn: x`]의 개수를 [eqn: h(k)`]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: k=2`]일 때, [eqn: g(2)=4`]이다. ㄴ. 함수 [eqn: h(k)`]의 최댓값은 [eqn: 4`]이다. ㄷ. [eqn: h(k)=2`]를 만족시키는 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: e ^{2} LEQ k<e ^{4} `]이다.

① ㄱ         ② ㄱ, ㄴ     ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ     ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

[eqn: LEFT ( 3x ^{2} + {1} over {x} RIGHT ) ^{6} `]의 전개식에서 상수항을 구하시오. [3점]

함수
[eqn: f(x)= {cases{`-14x+a _{{}_{{}_{`}}} _{`}&(`x LEQ 1) _{{}_{{}_{`}}} _{`}#`~~ {5`ln`x} over {x-1}&(`x>1) ^{{}^{`}}}}]
이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.
[3점]

곡선 [eqn: x ^{2} +y ^{3} -2xy+9x=19] 위의 점 [eqn: (2,``1)`]에서의 접선의 기울기를 구하시오. [3점]

모평균이 [eqn: 85`], 모표준편차가 [eqn: 6`]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 16`]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: {bar{X``}} `]라

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(`0 LEQ Z LEQ z`)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

할 때,
[eqn: rm P LEFT ( it ` {bar{X``}} GEQ k` RIGHT ) `=0.0228]
을 만족시키는 상수 [eqn: k`]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오.
[3점]

함수 [eqn: f(x)= {2x} over {x+1} `]의 그래프 위의 두 점 [eqn: (0,``0)], [eqn: (1,``1)`]에서의 접선을 각각 [eqn: l], [eqn: m`]이라 하자. 두 직선 [eqn: l], [eqn: m`]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta `]라 할 때, [eqn: 12`tan` theta `]의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}} =3], [eqn: rm {bar{BC}} =4`]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 선분 [eqn: rmAC`]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점을 [eqn: rmD], 선분 [eqn: rmAC`]를 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm E`]라 하자. 선분 [eqn: rmBC`]의 중점을 [eqn: rmF`]라 하고, 두 선분 [eqn: rmBE], [eqn: rmDF`]의 교점을 [eqn: rmG`]라 하자. [eqn: rm {vec{AG}} BULLET {vec{BE}} =0`]일 때, [eqn: cos` LEFT ( ANGLE rm ABC` RIGHT ) = it {q} over {p}`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)
[4점]

[eqn: 1`]부터 [eqn: 11`]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 11`]장의 카드 중에서 임의로 두 장의 카드를 동시에 택할 때, 택한 카드에 적혀 있는 숫자를 각각 [eqn: m], [eqn: n`]([eqn: m<n`])이라 하자. 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A(1,``0)], [eqn: rm B LEFT ( cos` {m pi } over {6} `,```sin` {m pi } over {6} RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( cos` {n pi } over {6} `,```sin` {n pi } over {6} RIGHT ) `]에 대하여 삼각형 [eqn: rmABC]가 이등변삼각형일 확률이 [eqn: {q} over {p} `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

좌표공간에 평면 [eqn: alpha `:`2x+y+2z-9=0`]과 구
[eqn: S``:`(x-4) ^{2} +(y+3) ^{2} +z ^{2} =2`]가 있다. [eqn: LEFT | ` rm {vec{OP}} ` RIGHT | LEQ 3 sqrt {2} `]인 평면 [eqn: alpha] 위의 점 [eqn: rmP`]와 구 [eqn: S] 위의 점 [eqn: rmQ`]에 대하여 [eqn: rm {vec{OP}} BULLET {vec{OQ}} `]의 최댓값이 [eqn: a+b`sqrt 2]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rm O`]는 원점이고, [eqn: a], [eqn: b`]는 유리수이다.) [4점]

함수 [eqn: f(x)= {x} over {e ^{x}} `]에 대하여 구간 [eqn: LEFT [ {12} over {e ^{12}} `,``` INF ` RIGHT ) `]에서 정의된 함수
[eqn: g(t)= int _{0} ^{12} {LEFT | f(x)-t RIGHT |} `dx`]
가 [eqn: t=k`]에서 극솟값을 갖는다. 방정식 [eqn: f(x)=k`]의 실근의 최솟값을 [eqn: a`]라 할 때, [eqn: g` prime (1)+ln LEFT ( {6} over {a} +1 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

문항 번호	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
정답	③	①	⑤	②	②	④	③	⑤	①	③	③	②	⑤	②	③
문항 번호	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
정답	④	④	①	⑤	④	②	[eqn: 135]	[eqn: 19]	[eqn: 11]	[eqn: 88]	[eqn: 9]	[eqn: 37]	[eqn: 68]	[eqn: 21]	[eqn: 18]

[1] [eqn: veca - vecb = (6,``2,``4) - (1,``3,``2)][eqn: = (5,``-1,``2)], [eqn: THEREFORE] [eqn: 5 -1 + 2 = 6]

[2] [eqn: lim_h->0 { f(2+h) - f(2)} overh = f`'(2)]

[eqn: f``'(x) = 2 over2x+3], [eqn: THEREFORE] [eqn: f`'(2)= 2 over7]

[3] [eqn: 2^2x + 16 = 10 TIMES2^x], [eqn: 2^2x - 10 TIMES2^x +16 = 0]

[eqn: (2^x -2)(2^x -8) = 0], [eqn: THEREFORE] [eqn: x =1], [eqn: x = 3], [eqn: 1+3 =4]

[4] [eqn: {\P}(A capB) = {\P}(A) {\P}(B|A)],

[eqn: {\P}(A cup B)= {\P}(A)+ {\P}(B) - {\P}(A cap B)]

[eqn: 4 over5 = 1 over2 + 2 over5 - 1 over2 {\P}(B|A)], [eqn: THEREFORE] [eqn: {\P}(B|A)= 1 over5]

[5] [eqn: rm { 3B - 2A} over3-2 = 3B - 2A=][eqn: 3(6,``4,``b)-2(5,``a,``-3)]

[eqn: =][eqn: ( 8,`` 12- 2a,``3b + 6)]

[eqn: 12 - 2a = 0], [eqn: 3b+6 = 0], [eqn: a = 6], [eqn: b = -2], [eqn: THEREFORE] [eqn: a+b = 4]

[6] [eqn: a+b = 1 - 1 over3 - 1 over4 = 5 over12], [eqn: 1 over3 + 2 over4 + 3b = 11 over6],

[eqn: b = 4 over12], [eqn: a = 1 over12], [eqn: THEREFORE] [eqn: b overa = 4]

[7] [eqn: vecv = ( - sint ,`` 3 cost )][eqn: = left( - 1 over2 ,`` { 3sqrt3} over 2 right)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: | vecv `| = sqrt{ 1 over4 + 27 over4 } = sqrt7]

[8] [eqn: 1+2 ln x = t]로 치환하면, [eqn: 2 overx dx = dt]

[eqn: int_1^e^2 { f(1 + 2 ln x)} overx dx][eqn: = 1over2 int_1^5 f(t) dt][eqn: = 5], [eqn: THEREFORE] [eqn: int_1^5 f(x) dx = 10]

[9] 흰 공이 나올 확률은 [eqn: 2 over3], 검은 공이 나올 확률은 [eqn: 1 over3]

점수의 합이 7 이려면 [eqn: 2Times2 + 3 Times 1][eqn: = 7]이므로

5번 중 흰 공이 3번, 검은 공이 2번

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm `_5 C_2 left( 2 over3 right)^3 left( 1 over3 right)^2 = 80 over243]

[10] [eqn: y``' = 1 over3 e^{x over3}]이므로

접선의 방정식은 [eqn: y = e over3 x]

[eqn: S= int_0^3 left( e^{x over3} - e over3 x right) dx]

[eqn: =][eqn: left[ 3 e^{x over3} - e over6 x^2 right]_0^3]

[eqn: = 3 over2 e - 3]

[11] 아래 그림에서

[eqn: {\P}(k le X le 2k )= 1 - 1 over8 k^2 - 1 over8 (4-2k)^2]

[eqn: = - 5 over8 k^2 + 2k - 1][eqn: = - 5 over8 left( k - 8 over5 right)^2 + 3 over5]

따라서 [eqn: k = 8 over5]일 때 최댓값 [eqn: 3 over5]를 갖는다.

[12] [eqn: x f(x) = x^2 e^-x + int_1^x f(t) dt] 에

[eqn: x = 1]을 대입하면 [eqn: f(1)= e^-1]

[eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)+ x f``'(x) = 2x e^-x - x^2 e^-x + f(x)]

[eqn: f``'(x) = 2e^-x - x e^-x]

[eqn: f(x)= int ( 2 e^-x - x e^-x ) dx][eqn: = -2 e^-x + x e^-x - int e^-x dx]

[eqn: = -2 e^-x + x e^-x + e^-x +C][eqn: = (x-1) e^-1 + C]

[eqn: f(1) = e^-1]이므로 [eqn: C=][eqn: e^-1], [eqn: f(x)= (x-1) e^-x + e^-1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(2) = e^-2 + e^-1 = e+1 overe^2]

[13] [eqn: y = log_3 9x = 2 + log_3 x]이므로 [eqn: rm barBC = 2], [eqn: rm barAB = 2]

따라서 A[eqn: (a,``b)], B[eqn: (a+2,``b)]이고, [eqn: b = log_3 9a =][eqn: log_3 (a+2)]

이것을 풀면 [eqn: 3^b = 9a = a+2], [eqn: a = 1 over4], [eqn: 3^b = 9 over4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a + 3^b = 1 over4 + 9 over4 = 5 over2]

[14] [eqn: g(x) overx^2 = f(x) over x^2 TIMES sinx]인데, 여기서 [eqn: sinx]는 진동발산한다.

[eqn: x -> inf]일 때, [eqn: g(x) over x^2]이 0 으로 수렴하려면 [eqn: lim_x->inf f(x) overx^2 = 0] 이다.

따라서 [eqn: f(x)= ax+b]와 같이 일차이하의 다항식이다.

[eqn: g(x)= ( ax+b) sinx]에서 [eqn: g`'(x)= a sinx + (ax+b) cosx]

[eqn: {g`'(x) } overx = a sinx overx + left( a + b overx right) cosx]

인데, 이것이 [eqn: x->0]일 때 6으로 수렴하려면 [eqn: b = 0], [eqn: 2a = 6]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(x)= 3x], [eqn: f(4) = 12]

[15] 아래 그림과 같이 놓으면

[eqn: k+l = 10 = 2 sqrta]이므로 [eqn: a = 25]

초점 거리를 [eqn: 2c]라 하면 [eqn: k^2 + l^2 = 4c^2 = 4( a - 12)= 52]

[eqn: 2kl = (k+l)^2 - ( k^2 + l^2 ) = 100 - 52 = 48]

P가 제1사분면의 점이므로 [eqn: k >l]이다.

이제 [eqn: k], [eqn: l]을 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: x^2 - 10x + 24 = 0], [eqn: (x-6)(x-4) = 0]

따라서 [eqn: k = 6], [eqn: l = 4]이고 구하려는 넓이는

[eqn: 1 over2 kl + 1 over2 l^2 = 12 + 8 = 20``]

[16] 세 어린이 A, B, C가 받은 사탕의 개수를 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라고 하면

[eqn: (a,``b,``c) =][eqn: (4,``1,``1)], [eqn: (3,``2,``1)], [eqn: (3,``1,``2)], [eqn: (2, ``1,`` 3)]

따라서 구하려는 경우의 수는 같은 것이 있는 순열의 수에서

[eqn: 6! over{ 4!} + 6! over{ 3! 2!} + 6! over{ 3!2! }+ 6! over{ 2! 3!}][eqn: = 30 + 60 + 60+ 60 = 210`]

[17] 아래 그림과 같이 평면 [eqn: beta]를 평행이동하여 [eqn: rm barBD]를 지나도록 하면

삼각형 BCD의 정사영은 변의 길이가 [eqn: 4 sqrt2], [eqn: 4sqrt2], [eqn: 8]인

직각이등변삼각형이다.

이등변삼각형의 성질과 삼수선의 정리에서

[eqn: rm barBC][eqn: = sqrt{ 25 + 16 } = sqrt41]

[18] A와 E는 회전하면 모두 일치하고, - 1가지

B와 C는 회전하면 모두 놓인 모양이 다르고, - 4가지

D는 회전하여 다른 경우는 2가지이다. - 2가지

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

(i) 중앙에 A 또는 E 를 붙인 경우

나머지 4개는 원순열에 의하여 3! 인데,

각각의 경우 회전하여 다른 경우의 수를 따지면 [eqn: 1TIMES2 TIMES4 TIMES4][eqn: = 32]

그러므로 [eqn: 2TIMES3! TIMES32][eqn: = 384]

(ii) 중앙에 B 또는 C 를 붙인 경우

네 방향이 모두 상대적으로 다른 모양이므로

나머지 4개를 놓는 경우의 수는 4!

각각의 경우 회전하여 다른 경우의 수를 따지면 [eqn: 1TIMES1 TIMES2 TIMES4][eqn: = 8]

그러므로 [eqn: 2TIMES 4! TIMES8 = 384]

(iii) 중앙에 D 를 붙인 경우

나머지 4개는 회전하여 일치하는 경우가 2방향이므로 [eqn: 4! over2 = 12]

각각의 경우 회전하여 다른 경우의 수를 따지면 [eqn: 1TIMES1 TIMES4 TIMES4 = 16]

그러므로 [eqn: 12 TIMES16= 192]

따라서 서로 다른 문양의 개수는 [eqn: 384+384 + 192 = 960]

(가)[eqn: = a = 24], (나)[eqn: = b = 12], (다)[eqn: =c = 16]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b+c = 24+ 12+ 16 = 52]

[19] 직각삼각형의 삼각비에서

[eqn: rm barAB = barBD = 8 sin theta], [eqn: rm barAC = barCE = 8 cos theta]

[eqn: rm barED = barBD +barCE - 8][eqn: = 8 ( sin theta + cos theta -1)]

그리고 삼각형의 높이는 [eqn: h = 8 sin theta cos theta] 이다.

따라서 [eqn: S( theta)= 1 over2 TIMES rm barED TIMES it h][eqn: = 32 sin theta cos theta ( sin theta + cos theta -1)]

[eqn: {S( theta)} over{ theta^2} =32 TIMES { sin theta} over theta TIMES cos theta TIMES left( {sin theta} over theta + { cos theta-1} over theta right)]

여기서 [eqn: lim_{ theta ->0} ` {sin theta} over theta = 1], [eqn: lim_{ theta->0} { cos theta-1} over theta = 0], [eqn: lim_{ theta->0} ` cos theta = 1] 이므로

[eqn: lim_{ theta->0} { S( theta)} over{ theta^2} =][eqn: 32]

[20] 점 Q의 좌표를 [eqn: (x,``y)]라 하면

[eqn: rm vec OA cdot vecPQ =][eqn: (0,``12) cdot ( x,``y- t)][eqn: = 12 (y-t) = 0], [eqn: y = t]

[eqn: t over3 le sqrt{ x^2 + (y-t)^2} le t over2]

따라서 [eqn: y = t], [eqn: t over3 le |x| le t over2], [eqn: 6 le t le 12]

즉 [eqn: 2|x| LEQ y LEQ 3|x|], [eqn: 6 le y le 12]

이것을 좌표평면에 나타내면

오른쪽 그림과 같다.

따라서 구하려는 최솟값은 A[eqn: (0, ``12)]에서

직선 [eqn: y = 3x]에 이르는 거리 [eqn: m = 12 oversqrt10]

최댓값은 A[eqn: (0,``12)]에서 Q[eqn: (3,``6)]의 거리

[eqn: M = sqrt{9 + 36 } = 3sqrt5]

[eqn: THEREFORE] [eqn: Mm = 12 oversqrt10 TIMES 3sqrt5 = 18 sqrt2]

[21] [eqn: y= (x^2 -x) e^4-x][eqn: = x(x-1) e^4-x]

[eqn: y``' = ( 2x -1 )e^4-x - (x^2 -x) e^4-x][eqn: = ( - x^2 + 3x -1 ) e^4-x]

[eqn: lim_x->inf ( x^2 - x) e^4-x = 0] 이다. 이것으로 부터

[eqn: y = (x^2 - x) e^4-x], [eqn: f(x)= | x^2 - x| e^4-x]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이제 [eqn: y = kx][eqn: ( k >0)]와 [eqn: y = f(x)]에서 [eqn: g(x)]를 살펴보면

아래 그림과 같이 [eqn: y = kx]가 [eqn: y = f(x)]의 접선인 경우를 기준으로

동그라미에서 미분가능하지 않은 경우가 생긴다.

ㄱ. [eqn: k= 2] 이면 [eqn: f(2)= 2e^2 > 4]이므로 [eqn: g(2)= 4]

ㄴ. [eqn: y = kx]가 [eqn: x =2]에서 [eqn: y = f(x)]의 접선보다 아래쪽이면

[eqn: h(k)]는 최댓값 4 를 갖는다.

ㄷ. 원점에서 접선을 구하여 보면

접점의 좌표를 [eqn: (t,`` f(t))]라 두면

[eqn: y = (- t^2 + 3t-1) e^4-t (x-t) + ( t^2 - t) e^4-t]

[eqn: 0 = ( t^3 - 3t^2 + t) e^4-t + (t^2 - t) e^4-t]

[eqn: t^3 - 2t^2 = 0], [eqn: t = 0] 또는 [eqn: t =2]

[eqn: t = 2]에서 접선의 기울기는 [eqn: k = e^2]

[eqn: t = 0]에서는 [eqn: y = - f(x)]의 접선의 기울기는 [eqn: k = e^4]

따라서 [eqn: e^2 le k le e^4], [eqn: k > e^4] 일 때 [eqn: h(k)= 2]이다.

[22] 상수항은 [eqn: rm `_6 C_2 it (3x^2 )^2 left( 1 overx right)^4 = 3^2 TIMES rm `_6 C_2 = 135]

[23] [eqn: lim_x->1 { 5 lnx } overx-1 = -14+a], [eqn: 5 = - 14 + a], [eqn: THEREFORE] [eqn: a = 19]

[24] 음함수의 미분법에서

[eqn: 2x + 3y^2 dy overdx - 2 y - 2x dy overdx + 9 = 0]

[eqn: dy overdx = { 2x- 2y +9} over{ 2x - 3y^2][eqn: = {2 TIMES2 -2 TIMES1 +9} over{ 2 TIMES2 -3 TIMES1][eqn: = 11]

[25] [eqn: barX]는 N[eqn: left( 85,`` 9 over4 right)]를 따른다.

[eqn: {\P}( barX ge k )= 0.0228 = {\P}(Z ge 2)]

[eqn: k-85 over{ 3 over2 } = 2], [eqn: THEREFORE] [eqn: k = 85 + 3 = 88]

[26] [eqn: f(x)= 2x overx+1 =2 - 2 overx+1]

[eqn: f``'(x) = 2 over{ (x+1)^2]

[eqn: f`'(0) = 2], [eqn: f``'(1)= 1 over2]

[eqn: tan theta = {2- {1} over {2}} over {1+2 TIMES 1 over2 }][eqn: = 3 over4],

[eqn: THEREFORE] [eqn: 12 tan theta = 9`]

[27] 그림과 같이

[eqn: rm vec BA = it veca], [eqn: rm vecBC = it vecc]라 놓으면

[eqn: rm vecBD =][eqn: 2 over3 veca + 1 over3 vecc],

[eqn: rm vecBE =][eqn: 1 over3 veca + 2 over3 vecc],

[eqn: rm vecBF =][eqn: 1 over2 vecc],

[eqn: rm vecBG]는 실수 [eqn: t], [eqn: s]에 대하여

[eqn: t over3 veca + 2t over3 vecc][eqn: = s left( 2 over3 veca + 1 over3 vecc right) + (1-s) left( 1 over2 vecc right)]

[eqn: t over3 = 2s over3], [eqn: 2t over3 = s over3 + 1-s over2],

[eqn: t = 2 over3], [eqn: s = 1 over3], [eqn: rm vecBG =][eqn: 2 over9 veca + 4 over9 vecc], [eqn: rm vecAG = vecBG - vecBA =][eqn: - 7 over9 veca + 4 over 9 vecc]

[eqn: rm vecAG cdot vec BE =][eqn: left(- 7 over9 veca + 4 over 9 vecc right) cdot left( 1 over3 veca + 2 over3 vecc right)]

[eqn: = 1 over27 ( - 7 veca + 4 vecc ) ( veca +2 vecc `)]

[eqn: = 1 over27 left{ -7 | veca `|^2 + 8 | vecc ``|^2 - 10 ( veca cdot vecc `) right}]

[eqn: = 1 over27 "{" - 63 + 128 - 10 ( veca cdot vecc `) "}"][eqn: = 0]

따라서 [eqn: veca cdot vecc `=`13 over2], [eqn: cos theta = { veca cdot vecc } over{ |veca `| | vecc `|][eqn: = {13 over2} over{ 3 TIMES4} = 13 over24][eqn: = q overp]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p +q = 37]

[28] A, B, C는 그림과 같이 단위원을 12등분하는 점이다.

이등변삼각형인 경우는

(i) [eqn: rm barAB = bar\AC]인 경우 5가지

(ii) A가 이등변삼각형의 밑변의 꼭짓점인 경우 10가지

(iii) 정삼각형은 1가지인데 (i), (ii) 에서 3번 중복

따라서 이등변삼각형은 [eqn: 5 + 10 - 2= 13] 이고,

모든 경우의 수는 [eqn: rm ` _11 C_2 = 55] 이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: q overp = 13 over55], [eqn: p+q \= 13+ 55 = 68]

[29] O에서 평면 [eqn: 2x+y + 2z -9 = 0]에

내린 수선의 발은 [eqn: (2, `1,` 2)]이고, 거리는 3

따라서 P는 그림과 같은 원뿔은 밑면인 원 위의 점

그림에서 [eqn: rm {vec{OP}} BULLET {vec{OQ}} `][eqn: = rm vecOP cdot ( vecOO' + vecO'Q` )] 인데.

여기가 벡터  [eqn: rm vecOO'], [eqn: rm vecO'Q]의 크기는 각각 [eqn: 5], [eqn: sqrt2]으로 일정하다.

그리고 [eqn: rm vecOP]와 [eqn: rm vecO'Q]가 이루는 각은 모든 방향이 다 가능하므로

[eqn: rm vecOP cdot vecO'Q] 는 [eqn: left| rm vecOP ` right| = 3 sqrt2]일 때 최댓값 6을 갖는다.

[eqn: rm vecOP cdot vecOO']는 [eqn: left| rm vecOP ` right| = 3 sqrt2]이고 [eqn: rm vecOP]와 [eqn: rm vecOO']가 이루는 각의 크기가

최소일 때 최댓값을 갖는다.

즉 이 각의 크기는 [eqn: vecv = (2, `1,` 2)]와 [eqn: rm vecOO' = (4, `-3, `0)]이

이루는 각의 크기를 [eqn: alpha]라 할 때, [eqn: alpha - pi over4]가 최소이다.

이때 [eqn: cos alpha = 1 over3], [eqn: sin alpha = { 2sqrt2} over3]이므로

[eqn: cos left( alpha - pi over4 right) = 1 over3 TIMES sqrt2 over2 + { 2 sqrt2} over3 TIMES sqrt2 over2][eqn: = { 4 + sqrt2} over6]

따라서 [eqn: rm vecOP cdot vecOO']의 최댓값은 [eqn: 3sqrt2 TIMES5 TIMES { 4 + sqrt2} over6][eqn: = 5+ 10 sqrt2]

그러므로 [eqn: rm {vec{OP}} BULLET {vec{OQ}} `][eqn: = rm vecOP cdot ( vecOO' + vecO'Q` )] 의 최댓값은

[eqn: (5 +10 sqrt2 ) + 6 = 11 + 10 sqrt2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b = 11+ 10 = 21]

[30] [eqn: g(t)`]는 그림과 같이 색칠한 영역의 넓이이다.

[eqn: f(x)= x overe^x][eqn: = x e^-x], [eqn: f`'(x) = (1-x) e^-x] 이므로

극댓값(최댓값)은 [eqn: f(1)= 1 overe][eqn: < 1]이므로

[eqn: t > 1 overe]이면 [eqn: g(t)= int_0^12 ( t - f(x)) dx][eqn: = 12t - int_0^12 f(x) dx]이므로

[eqn: g`'(1)= 12] 이다.

[eqn: 12 over e^12 le t le 1 overe]일 때 [eqn: f(x) = t]는 두 실근 [eqn: a], [eqn: b] [eqn: (a <b)]를 갖는다.

위 그림과 같이 [eqn: b-a = 6]일 때 [eqn: g(t)]는 극솟값을 갖는다.

왜냐하면, 이 근방에서 [eqn: k]의 값을 작거나 크게 하면 그림에서 처럼

증가하는 넓이가 감소하는 넓이 보다 크기 때문이다.

따라서 [eqn: f(a) = f(a+6)]이므로 [eqn: a overe^a = a+6 over{e^a+6], 즉 [eqn: a+6 overa = e^6]

즉 [eqn: ln left( 6 overa +1 right) = ln e^6 = 6] 이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: g`'(1) + ln left( 6 overa +1 right) = 12 + 6 = 18]